Question

19．已知平面内两点A（0，-a），B（0，a）（a＞0），有一动点P在平面内，且直线PA与直线PB的斜率分别为k₁，k₂，令k₁•k₂=m，其中m≠0．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）已知N点在圆x²+y²=a²上，设m∈（-1，0）时对应的曲线为C，设F₁，F₂是该曲线的两个焦点，试问是否存在点N，使△F₁NF₂的面积S=$\sqrt{-m}$•a²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在，得出矛盾，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设动点为P，其坐标为（x，y），
由条件可得$\frac{y+a}{x}•\frac{y-a}{x}$=m，
即y²-mx²=a²（x≠0），
（Ⅱ）F₁（0，$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$），F₂（0，$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$），N（x₀，y₀），
∵△F₁NF₂的面积S=$\sqrt{-m}$•a²，
∴$\frac{1}{2}•2$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$|x₀|=$\sqrt{-m}$•a²，
∵0＜|x₀|≤a，
∴可得0＜$\frac{\sqrt{-m}}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$≤1，
∴m²+m+1≤0，
∵△＜0，∴不等式不成立，
∴不存在点N，使△F₁NF₂的面积S=$\sqrt{-m}$•a²．

点评 考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．