Question

下列四个命题：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
②设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则

sinA+cosA•tanC

sinB+cosB•tanC

的取值范围是（

5 -1

2

，

5 +1

2

）；
③S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁＞0，S₆=S₉，则S₁₅=-15；
④数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n+1+2S_n=n+1，则S₂₀₁₃=1007；
⑤数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则

an

n

的最小值为

53

5

．
其中正确的命题序号

 

．（注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：①借助于正弦定理容易判断；
②由题意b²=ac，再借助于两角和与差公式及正弦定理将后面的式子化简为

b

a

，将前式代入任意两边之和大于第三边，构造出

b

a

的不等式组解之即可；
③利用性质不难得到a₈=0，则s₁₅=0；
④可先推导出通项公式，再求s₂₀₁₃；
⑤先用累加法求出通项公式，再求结果的最小值．

解答： 解：①由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，且sinA＞sinB，所以上式等价于a＞b，根据大边对大角，可得A＞B；故①正确；
②由已知得b²=ac，由

sinA+cosA•tanC

sinB+cosB•tanC

=

sinA+cosA sinC cosC

sinB+cosB sinC cosC

=

sinAcosC+cosAsinC

sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)

sin(B+C)

=

sinB

sinA

=

b

a

；不妨令

b

a

=t＞0，
将c=

b2

a

代入a+b＞c，后得a²+ab＞b²，两边同除以a²结合t=

b

a

得t²-t-1＜0，解得

1- 5

2

＜t＜

1+ 5

2

①，
同理将c=

b2

a

分别带入a+c＞b，b+c＞a整理化简后解得t＜

-1- 5

2

或t＞

-1+ 5

2

，联立①式解得

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，故②正确；
③由s₆=s₉得a₇+a₈+a₉=3a₈=0，所以s15=

15(a1+a15)

2

=15a8=0，故③错；
④由a_n+1+2S_n=n+1得 a_n+2s_n-1=n，两式相减得a_n+1+a_n=1，又a₂+2a₁=2，所以a₂=0，该数列为1，0，1，0，1，0…，即偶数项为0，奇数项为1，所以s2013=

2012

2

+1=1007．故④正确；
⑤利用累加法可得a_n-a₁=2×（1+2+3+…+（n-1））=n（n-1），故a_n=33+n（n-1），∴

an

n

=

n2-n+33

n

=n+

33

n

-1，由于函数y=x+

33

x

在（0，

33

）递减，在[

33

，+∞)上递增，结合n∈N^*，易知n=6时，

an

n

最小值为

21

2

，故⑤错．
故答案为①②④

点评：这是一道有关推理的问题，主要是考查了等差数列、数列求和、解三角形有关基础知识，思维量较大，做题时需仔细认真方能少出错．