题目内容
已知F1，F2为椭圆
+
=1的左、右焦点，M为椭圆上动点，有以下四个结论：
①|MF2|的最大值大于3；
②|MF1|•|MF2|的最大值为4；
③若过F2作∠F1MF2的外角平分线的垂线，垂足为N，则点N的轨迹方程是x2+y2=4；
④若动直线l垂直y轴，交此椭圆于A、B两点，P为l上满足|PA|•|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为
+
=1或
+
=1．
以上结论正确的序号为 ．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
①|MF2|的最大值大于3；
②|MF1|•|MF2|的最大值为4；
③若过F2作∠F1MF2的外角平分线的垂线，垂足为N，则点N的轨迹方程是x2+y2=4；
④若动直线l垂直y轴，交此椭圆于A、B两点，P为l上满足|PA|•|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为
| x2 |
| 2 |
| 2y2 |
| 3 |
| x2 |
| 6 |
| 2y2 |
| 9 |
以上结论正确的序号为
考点：命题的真假判断与应用
专题：综合题,压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：①利用椭圆的几何性质，求出|MF2|的最大值是a+c；
②利用椭圆的几何性质|MF1|+|MF2|=2a，结合基本不等式MF1|•|MF2|≤(
)2，求出|MF1|•|MF2|的最大值；
③利用外角平分线作垂线的几何特征得出N是线段F2P的中点，结合中位线定理得ON的长为定值，从而求得N的轨迹方程；
④设点P的坐标（x，y），依题意得A（x0，y），B（-x0，y），由|PA|•|PB|=2求出点P的坐标关系式，代入椭圆方程求出P点的轨迹方程．
②利用椭圆的几何性质|MF1|+|MF2|=2a，结合基本不等式MF1|•|MF2|≤(
| |MF1|+|MF2| |
| 2 |
③利用外角平分线作垂线的几何特征得出N是线段F2P的中点，结合中位线定理得ON的长为定值，从而求得N的轨迹方程；
④设点P的坐标（x，y），依题意得A（x0，y），B（-x0，y），由|PA|•|PB|=2求出点P的坐标关系式，代入椭圆方程求出P点的轨迹方程．
解答：
解：对于①，椭圆
+
=1中，a=2、c=1，∴|MF2|的最大值是a+c=2+1=3，∴①错误；
对于②，|MF1|+|MF2|=2a=4，∴|MF1|•|MF2|≤(
)2=4，∴|MF1|•|MF2|的最大值为4，②正确；
对于③，如图，
延长F2N与F1M交于P，连接ON，则点P、F2关于点N对称，
∴ON=
F1P=
（MF1+MF2）=a=2，
∴动点N的轨迹方程为x2+y2=4；∴③正确；
对于④，设点P的坐标为（x，y），依题意得A（x0，y），B（-x0，y），
∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x0|•|x+x0|=|x2-x02|=2，即x02=x2±2；
代入椭圆方程得
+
=1，
即
+
=1（-
≤y≤
）与
+
=1（-
≤y≤
）；
∴P点的轨迹为两椭圆
+
=1与
+
=1夹在两直线y=±
之间的弧长，∴④错误；
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
对于②，|MF1|+|MF2|=2a=4，∴|MF1|•|MF2|≤(
| |MF1|+|MF2| |
| 2 |
对于③，如图，
延长F2N与F1M交于P，连接ON，则点P、F2关于点N对称，
∴ON=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴动点N的轨迹方程为x2+y2=4；∴③正确；
对于④，设点P的坐标为（x，y），依题意得A（x0，y），B（-x0，y），
∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x0|•|x+x0|=|x2-x02|=2，即x02=x2±2；
代入椭圆方程得
| x2±2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
即
| x2 |
| 2 |
| 2y2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| 6 |
| 2y2 |
| 9 |
| 3 |
| 3 |
∴P点的轨迹为两椭圆
| x2 |
| 2 |
| 2y2 |
| 3 |
| x2 |
| 6 |
| 2y2 |
| 9 |
| 3 |
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
点评：本题考查了椭圆方程的定义与几何性质的综合应用问题，也考查了一定的推理与计算能力，是综合题，也是较难的题目．
练习册系列答案
应用题作业本系列答案
相关题目