Question

设x²+y²+z²=1，若λxyz≤

1+z

2

对一切x，y，z∈R^*均成立，则λ的最大值为（　　）

• A、2（

  2

  +1）
• B、

  3

  2

  （

  3

  +1）
• C、4
• D、3

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：x²+y²+z²=1，化为1-z²=x²+y²≥2xy．由于λxyz≤

1+z

2

对一切x，y，z∈R^*均成立，可得xy≤

1+z

2λz

对一切x，y，z∈R^*均成立，因此

1-z2

2

≤

1+z

2λz

，化为λ≤

1

z(1-z)

，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵x²+y²+z²=1，∴1-z²=x²+y²≥2xy．
∵λxyz≤

1+z

2

对一切x，y，z∈R^*均成立，
∴xy≤

1+z

2λz

对一切x，y，z∈R^*均成立，
∴

1-z2

2

≤

1+z

2λz

，
化为λ≤

1

z(1-z)

，而

1

z(1-z)

≥

1

( z+1-z 2 )2

=4．当且仅当z=

1

2

时取等号．
∴λ的最大值为4．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．