Question

15．若函数f（x）=ax³-ax²+x在区间（-1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=ax³-ax²+x在区间（-1，0）上恰有一个极值点，所以f′（-1）f′（0）＜0，进而验证a=-1与a=0时是否符合题意，即可求答案．

解答 解：由题意，f′（x）=3ax²-2ax+1，
a≠0时，当f′（-1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，
函数f（x）在区间（-1，0）上恰有一个极值点，
解得：a＜-$\frac{1}{5}$，
当a=-1时，f′（x）=-3x²+2x+1=0，在（-1，0）上恰有一根x=-$\frac{1}{3}$，
当a=0时，f′（x）＞0，函数无极值点，
综上，a∈（-∞，-$\frac{1}{5}$）或a=-1，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

点评 考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．