Question

8．已知函数f（x）=alnx-x²+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）的值，求出a的值，结合切线方程求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）令g（x）=alnx-x²+1+x，求出函数的导数，问题转化为a≤2x²-x在（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=alnx-x²+1，
求导得${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x（{x＞0}）$，
因为，在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，
所以，f′（1）=a-2=4，得a=6，4-f（1）+b=0，b=-4．…（4分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x=\frac{{a-2{x^2}}}{x}（x＞0）$
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（6分）
当a＞0时，${f^'}（x）=0，x=±\sqrt{\frac{a}{2}}$（舍负）
${f^'}（x）＞0⇒\sqrt{\frac{a}{2}}＞x＞0$，${f^'}（x）＜0⇒x＞\sqrt{\frac{a}{2}}$，
f（x）在$（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$上是增函数，在$（\sqrt{\frac{a}{2}}，+∞）$上是减函数；             …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，
即f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁即f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
只要满足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）为减函数，…（10分）
g（x）=alnx-x²+1+x，${g^'}（x）=\frac{a}{x}-2x+1≤0$
即a≤2x²-x在（0，+∞）恒成立，…（11分）
a≤（2x²-x）_min，
${（2{x^2}-x）_{min}}=-\frac{1}{8}$，
所以$a≤-\frac{1}{8}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．