Question

如图，把边长为10的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设其高为h，体积为V（不计接缝）．
（Ⅰ）求出体积V与高h的函数关系式并指出其定义域；
（Ⅱ）问当h为多少时，体积V最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,基本不等式

专题：应用题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出六棱柱的底边长、底面积，可得体积V与高h的函数关系式；
（Ⅱ）利用导数法，可求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，六棱柱的底边长为10-

2 3

3

h，（1分）
底面积为6•

3

4

(10-

2 3

3

h)2（3分）
由10-

2 3

3

h＞0及h＞0得0＜h＜5

3

∴体积V=

3 3

2

(10-

2 3

3

h)2•h=2

3

(h3-10

3

h2+75h)，
其定义域为(0，5

3

)（6分）
（Ⅱ）由V′=2

3

(3h2-20

3

h+75)=0
得h=

5 3

3

或h=5

3

（舍去）  （8分）
∵0＜h＜

5 3

3

时，V′＞0；

5 3

3

＜h＜5

3

时，V′＜0．（10分）
∴当h=

5 3

3

时V有最大值

1000

3

．（12分）

点评：本题考查体积的计算，考查利用数学知识解决实际问题，正确运用导数法是关键．