Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若φ⊆{x∈R|f（x）≥k}，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，进而由对数的运算性质化简函数的解析式，结合二次函数，对数函数的单调性和复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
（2）不等式f（x）≥k，即为log₂[-（x-1）²+4]≥k，即-（x-1）²+4≥2^k，结合二次函数和指数函数的图象和性质，可得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）由x+1＞0，且3-x＞0可得：函数f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）的定义域为（-1，3），
∵函数f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）=log₂[（x+1）•（3-x）]=log₂[-（x-1）²+4]，
当x∈（-1，1]时，u=-（x-1）²+4为增函数，且y=log₂u也为增函数，
故函数f（x）也为增函数，
即f（x）的单调递增区间为（-1，1]；
（2）不等式f（x）≥k，即为log₂[-（x-1）²+4]≥k，
即-（x-1）²+4≥2^k，
∵当x∈（-1，3）时，-（x-1）²+4∈（0，4），
故4≥2^k，
解得：k≤2．

点评：本题考查的知识点是指数函数，对数函数，二次函数的图象和性质，复合函数的单调性，综合性可，难度中档．