Question

1．已知函数f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，θ∈[0，2π）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；
（2）若f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数为偶函数可得f（-x）-f（x）=0，整理后即可求得θ值，进一步求得tanθ的值；
（2）求出已知二次函数的对称轴方程，结合f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数得到关于θ的三角不等式，求解三角不等式得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2为偶函数，
得f（-x）-f（x）=0，即x²-4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2-x²-4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x+2=-8[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x=0，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，
∵θ∈[0，2π），∴θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
则θ+$\frac{π}{3}$=π或θ+$\frac{π}{3}$=2π，
∴θ=$\frac{2π}{3}$或θ=$\frac{5π}{3}$．
当$θ=\frac{2π}{3}$时，tanθ=$-\sqrt{3}$；当$θ=\frac{5π}{3}$时，tanθ=$-\sqrt{3}$；
（2）函数f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2的对称轴方程为x=-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
要使f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数，
则-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）$≤-\sqrt{3}$或-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥1，
即sin（θ+$\frac{π}{3}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$或sin（θ+$\frac{π}{3}$）$≤-\frac{1}{2}$．
∵θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]或θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]．
∴θ∈[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，考查三角函数的图象和性质，属中档题．