Question

17．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（ I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（ II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥BC，PA⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，转化证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）过A点作AD⊥PC于点D，连BD，取BD的中点E，连OE，说明OE长就是O到平面PBC的距离，然后求解即可．

解答 解：（1）证明：由AB是圆的直径得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC，…（4分）
又∴BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC…（6分）
（2）过A点作AD⊥PC于点D，则由（1）知AD⊥平面PBC，…（8分）
连BD，取BD的中点E，连OE，则OE∥AD，
又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，
所以OE长就是O到平面PBC的距离．…（10分）
由中位线定理得$OE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{PA×AC}{PC}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理以及点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力．