Question

（1）已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线y=

1

2

x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标．
（2）曲线y=2x-x³在横坐标为-l的点处的切线为l，求点P（3，2）到直线l的距离．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,两点间距离公式的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先设出点P的坐标，设P（2t，t），由两点间距离公式表示出|PA|²+|PB|²的关于参数t的表达式，再利用函数的相关知识求解出函数的最小值，即得出|PA|²+|PB|²取得最小值与坐标；
（2）由于曲线y=2x-x³在横坐标为-1的点处的切线为l，将-1代入求得切点的坐标，再求出y=2x-x³的导数，将-1代入求出切线的斜率，由点斜式求出切线的方程，整理成一般式，用公式求距离．

解答： 解：（1）设P（2t，t），
则|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-18t+10
当t=

9

10

时，|PA|²+|PB|²取得最小值，此时有P(

9

5

，

9

10

)．
|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标为P(

9

5

，

9

10

)；
（2）∵y=2x-x³，∴y'=2-3x²，
又切点的横坐标为-1，故切点的纵坐标是-1，y'=-1，
故切线的方程是y+1=-（x+1），即切线的方程是x+y+2=0
所以点P（3，2）到直线l的距离d=

|3+2+2|

2

=

7 2

2

点评：本题（1）考点是两点间距离公式，考查用两点间距离公式建立起相关量的函数关系，转化为求函数的最值，转化思想是数学中的重要思想，由未知向已知转化是解决问题的一个实用的技巧．（2）考查利用导数研究曲线上某点切线方程，点到直线的距离公式，解题的关键是求熟练掌握用导数求切线斜率的方法及点到直线的距离公式，直线的点斜式方程．