Question

已知α，β∈（

π

2

，π），sin

α

2

-cos

α

2

=

10

5

，tan（α-β）=-

5

12

，则sinβ=（　　）

• A、

  16

  65

• B、

  13

  65

• C、

  56

  65

• D、

  33

  65

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：利用同角三角函数基本关系的运用可求得tanα=-

3

4

，再利用两角差的正切，即可求得tanβ=tan[α-（α-β）]的值，而β∈（

π

2

，π），于是可求得sinβ的值．

解答： 解：∵sin

α

2

-cos

α

2

=

10

5

，
∴（sin

α

2

-cos

α

2

）²=1-sinα=

2

5

，
∴sinα=

3

5

，α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

4

5

．
∴tanα=-

3

4

，又tan（α-β）=-

5

12

，
∴tanβ=tan[α-（α-β）]=

tanα-tan(α-β)

1+tanαtan(α-β)

=

- 3 4 -(- 5 12 )

1+(- 3 4 )(- 5 12 )

=-

16

63

，
又β∈（

π

2

，π），
∴sinβ=

16

632+162

=

16

65

．
故选：A．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，着重考查两角差的正切，考查转化思想与运算能力．