Question

求证：无论m为何值，直线l：mx-y-m+1=0与椭圆：

x2

16

+

y2

9

=1恒有交点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先将直线方程中的m分离出来，得直线所经过的定点，再将定点代入椭圆方程的左边，与椭圆方程右边的1进行比较，即可证明．

解答： 证明：由mx-y-m+1=0，得y-1=m（x-1），
由直线的点斜式方程知，直线l过定点（1，1），
将定点坐标代入椭圆方程的左边，得

12

16

+

12

9

＜1，
所以定点（1，1）在椭圆的内部，
故无论m为何值，直线l：mx-y-m+1=0与椭圆：

x2

16

+

y2

9

=1恒有交点．

点评：1、本题考查了直线的方程，以及点与椭圆的位置关系，关键是从动直线中获取定点，而定点常由点斜式或分离参数法求得．
2、点P（x₀，y₀）与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的位置关系有3种：
（1）点P在椭圆C上?

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1；
（2）点P在椭圆C外?

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

＞1；
（3）点P在椭圆C内?

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

＜1．