Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M、N两点，且

MP

=

PN

，再过P作直线l⊥MN．证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用点（2，0）在椭圆C上，代入求出a，利用椭圆C的离心率为

1

2

，即可求出b，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-y₀=k（x+1），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合

MP

=

PN

，求出MN的斜率，利用直线l⊥MN，可得直线l的斜率，从而得到直线l的方程，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：因为点（2，0）在椭圆C上，所以

4

a2

+

0

b2

=1，所以a²=4，…（1分）
因为椭圆C的离心率为

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，即

a2-b2

a2

=

1

4

，…（2分）
解得b²=3，…（4分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）证明：设P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

 ， 

3

2

)，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12  y-y0=k(x+1)

得(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4

y

2 0

+8ky0+4k2-12)=0，…（7分）
所以x1+x2=-

8ky0+8k2

3+4k2

，…（8分）
因为

MP

=

PN

，即P为MN中点，所以

x1+x2

2

=-1，即-

8ky0+8k2

3+4k2

=-2．
所以kMN=

3

4y0

 (y0≠0)，…（9分）
因为直线l⊥MN，所以kl=-

4y0

3

，所以直线l的方程为y-y0=-

4y0

3

(x+1)，
即y=-

4y0

3

(x+

1

4

)，显然直线l恒过定点(-

1

4

 ， 0)．…（11分）
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=-1，
此时直线l为x轴，也过点(-

1

4

 ， 0)．…（13分）
综上所述直线l恒过定点(-

1

4

 ， 0)．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，确定直线l的方程是关键．