Question

19．已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（8）的值；
（2）若f（x）是定义域内的增函数，解关于x不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）利用条件、恒等式和赋值法即可求f（8）的值；
（2）由（1）和恒等式将不等式f（x）+f（x-2）≤3等价转化，结合函数的定义域、单调性列出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）由题意得，f（2）=1，任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
令x₁=x₂=2，得f（4）=2f（2）=2，
令x₁=4，x₂=2，得f（8）=f（4）+f（2）=3；
（2）由（1）得f（8）=3，
所以f（x）+f（x-2）≤3化为f（x）+f（x-2）≤f（8），
因为任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
所以f（x）+f（x-2）≤f（8）等价于f[x（x-2）]≤f（8），
因为f（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-8）≤8}\end{array}\right.$，解得$2＜x≤4+2\sqrt{6}$，
所以不等式的解集是$（2，4+2\sqrt{6}]$．

点评 本题考查抽象函数的函数值和单调性问题，以及不等式的解集，一般采用赋值法、等价转化的思想，根据恒等式、函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．