Question

8．等比数列{a_n}中，已知对任意自然数$n，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^n}-1$，则$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{1}{3}（{4^n}-1）$．

Answer 1

分析 推导出${a}_{n}={2}^{n-1}$，从而${{a}_{n}}^{2}={2}^{2n-2}={4}^{n-1}$，由此能求出$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，对任意自然数$n，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^n}-1$，
∴a₁=2-1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，n≥2，
n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∴${{a}_{n}}^{2}={2}^{2n-2}={4}^{n-1}$，
∴$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故答案为：$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审，注意等比数列的性质的合理运用．