Question

已知函数f（x）=ax-bx²
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2

b

．
（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2

b

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：计算题,简易逻辑

分析：（1）由题意可得bx²-ax+1≥0恒成立，利用判别式即；
（2）对任意x∈[0，1]，由|f（x）|≤1推出其等价条件即可．

解答： 证明：（1）∵对任意x∈R都有f（x）≤1，
∴bx²-ax+1≥0恒成立，
∴△=a²-4b≤0，
∴a≤2

b

．
（2）∵|f（x）|≤1?-1≤ax-bx²≤1
?

b≤ a x + 1 x2 b≥ a x - 1 x2

x∈[0，1]
 (

a

x

+

1

x2

)min=a+1∴b≤a+1，
(

a

x

-

1

x2

)max=

a2 4 (a≥2) a-1(0＜a＜2)

且

a2

4

-(a-1)≥0，
∴

a2

4

≤b≤a+1∴?b-1≤a≤2

b

．

点评：本题考查了恒成立问题的处理及充要条件的证明，恒成立问题可用判别式法处理，充要条件注意推等价关系，属于中档题．