Question

4．已知圆C：（x-t）²+y²=20（t＜0）与椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个公共点为B（0，-2），F（c，0）为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B．
（1）求t的值及椭圆E的方程；
（2）过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为∠MPN的平分线？

Answer 1

分析 （1）由已知求得b，结合BC的长度求得t，再由BC⊥BF求得c，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得M，N的横坐标的和与积，代入k_PM+k_PN=0列式求得m值，可得使PF恰为∠MPN的平分线的点P的坐标．

解答 解：（1）由题意知，b=2，
∵C（t，0），B（0，-2），∴$BC=\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{20}$，则t=±4，
∵t＜0，∴t=-4．
∵BC⊥BF，∴c=1，则a²=b²+c²=5．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设l：y=k（x-1）（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，化简得
（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$．
若点P存在，设P（m，0），由题意，k_PM+k_PN=0．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-m}+\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-m}=0$．
∴（x₁-1）（x₂-m）+（x₂-1）（x₁-m）=0．
即$2{x}_{1}{x}_{2}-（1+m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=2•\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-（1+m）$•\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}+2m=0$．
∴8m-40=0，得m=5．
即在x轴上存在一定点P（5，0），使PF恰为∠MPN的角平分线．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．