题目内容

19．在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，则m+n的取值范围为[-$\sqrt{2}$，1）．

分析 利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，则m2+n2=1结合基本不等式，即可求得结论．

解答 解：设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，
∴m+n＜1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=90°
两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$即可得出1=m2+n2+2mncos∠AOB⇒m2+n2=1…②，
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}≥（\frac{m+n}{2}）^{2}$，…③，
由①②③得-$\sqrt{2}≤m+n＜1$．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，1）

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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9．对于两个图形F1，F2，我们将图象F1上任意一点与图形F2上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形F1与F2图形的距离，若两个函数图象的距离小于1，则这两个函数互为“可及函数”，给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是②④．（写出所有正确命题的编号）
①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=ex．g（x）=x；
③f（x）=log2（x2-2x+5），g（x）=sin$\frac{π}{2}$-x；
④f（x）=x+$\frac{2}{x}$，g（x）=lnx+2．
10．已知α，β是两个不同平面，直线l?β，则“α∥β”是“l∥α”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．正方体ABCD-A′B′C′D′中，异面直线AB′与BD 所成的角为60°．
14．双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1的右焦点与左准线之间的距离是5．
4．已知圆C：（x-t）2+y2=20（t＜0）与椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个公共点为B（0，-2），F（c，0）为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B．
（1）求t的值及椭圆E的方程；
（2）过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为∠MPN的平分线？
11．对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．
例如：考察恒等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n（n∈N*），左边xn的系数为C2nn，而右边（1+x）n（1+x）n=（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn）（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn），xn的系数为Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+…+CnnCn0=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2，因此可得到组合恒等式C2nn=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2．
（1）根据恒等式（1+x）m+n=（1+x）m（1+x）n（m，n∈N*）两边xk（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系数相同，直接写出一个恒等式；
（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$k=C2nn，其中$[{\frac{n}{2}}]$是指不超过$\frac{n}{2}$的最大整数．
8．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
13．已知函数f（x）=（x-1）ex+ax2，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

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