Question

2．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求二面角B-FC₁-B₁的余弦值；
（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC₁，求|EP|的最小值．

Answer 1

分析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．求出B，C₁，E，F的坐标，
（Ⅰ）求出面FC₁B₁的一个法向，面BFC₁的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B-FC₁-B₁的余弦值．
（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC₁，推出$\overrightarrow{EP}⊥\overrightarrow{n_2}$，求出x，y的关系，利用空间距离结合二次函数的最值求解即可．

解答 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．
则$B（1，1，0），{C_1}（0，1，1），E（\frac{1}{2}，0，1），F（1，\frac{1}{2}，1）$．
（Ⅰ）由图可取面FC₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{0，0，1}）$；$\overrightarrow{B{C_1}}=（{-1，0，1}），\overrightarrow{BF}=（{0，-\frac{1}{2}，1}）$，设面BFC₁的法向量为$\overrightarrow{n_2}$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{B{C_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{n_2}=（{1，2，1}）$．
所以$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即二面角B-FC₁-B₁的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），
则$\overrightarrow{EP}=（{x-\frac{1}{2}，y，-1}）$．
因为EP∥平面BFC₁，所以$\overrightarrow{EP}⊥\overrightarrow{n_2}$，即$（{x-\frac{1}{2}，y，-1}）•$（1，2，1）=0，
所以$x=-2y+\frac{3}{2}$，∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴$0≤-2y+\frac{3}{2}≤1，0≤y≤1$，∴$\frac{1}{4}≤y≤\frac{3}{4}$，
所以$|{\overrightarrow{EP}}|=\sqrt{{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}+{y^2}+1}$=$\sqrt{{{（{2y-1}）}^2}+{y^2}+1}=\sqrt{5{y^2}-4y+2}=\sqrt{5{{（{y-\frac{2}{5}}）}^2}+\frac{6}{5}}$，
当$y=\frac{2}{5}$时，${|{\overrightarrow{EP}}|_{min}}=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．

点评 本题看v我没觉得平面角的求法，空间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．