Question

19．如图，△ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F．直线EF与AI、BI、DI交于点M、N、K．求证：DM•KE=DN•KF．

Answer 1

分析 由三角形全等推导出I为△MDN的内心，从而DK为∠MDN的角平分线，根据角平分线的性质定理能证明DM•KE=DN•KF．

解答 证明：∵△ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F，∴AD=AF，
∵I是△ABC的内心，∴∠FAI=∠IAD，且AM=AM，
∴△FAM≌△DAM，
∴DM=MF，∠FMA=∠DMA，
同理得DN=EN，∠MNB=∠DNB，
∴I为△MDN的内心，∴DK为∠MDN的角平分线，
∴根据角平分线的性质定理，得$\frac{KM}{KN}=\frac{MD}{DN}$，
∴$\frac{KM}{KN}=\frac{MD}{DN}=\frac{MF}{EN}=\frac{MF-KM}{EN-KN}=\frac{KF}{KE}$，
∴DM•KE=DN•KF．

点评 本题考查两组线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等、角平分线性质定理的合理运用．