Question

已知向量

a

={-1，2，3}，

b

={2，b，1}函数f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1，x∈[-1，2]
（1）当b为何值时，f（x）的最大值为2
（2）若f（x）在[-1，2]上为单调函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算,函数单调性的判断与证明

专题：空间向量及应用

分析：（1）

a

•

b

=-2+2b+3=2b+1．可得函数f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1=-x²+（2b+1）x+1=-(x-

2b+1

2

)2+1-

(2b+1)2

4

，x∈[-1，2]．对

2b+1

2

与-1，2的大小关系分类讨论即可得出．
（2）由（1）可得当

2b+1

2

≤-1时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递增，当

2b+1

2

≥2时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递减，解出即可．

解答： 解：（1）

a

•

b

=-2+2b+3=2b+1．
∴函数f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1=-x²+（2b+1）x+1=-(x-

2b+1

2

)2+1-

(2b+1)2

4

，x∈[-1，2]．
当

2b+1

2

≤-1时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递增，∴f（2）=-4+2（2b+1）+1=2，解得b=

3

4

，舍去；
当

2b+1

2

≥2时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递减，∴f（-1）=-1-（2b+1）+1=2，解得b=-

3

2

，舍去；
当-1＜

2b+1

2

＜2时，-

3

2

＜b＜

3

2

，而f（2）-f（1）=6b，
当0＜b＜

3

2

时，f（2）＞f（1），由f（2）=-4+2（2b+1）+1=2，解得b=

3

4

，满足条件；
b=0时不满足条件，舍去；
当-

3

2

＜b＜0时，f（2）＜f（1），由f（-1）=-1-（2b+1）+1=2，解得b=-

3

2

，不满足条件，舍去．
综上可得：b=

3

4

．
（2）由（1）可得当

2b+1

2

≤-1时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递增，当

2b+1

2

≥2时，函数f（x）在x∈[-1，2]上单调递减．
解得b≤-

3

2

或b≥

3

2

．
∴实数b的取值范围是b≤-

3

2

或b≥

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．