Question

已知f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）当a=-1时，求f（x）的最值；   
（2）求f（x）的最小值；
（3）当f（x）在区间[-5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-1时，由f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，利用二次函数的性质求得f（x）的最值．
（2）由于f（x）=（x+a）²+2-a² 的图象的对称轴方程为x=-a，x∈[-5，5]，分类讨论求得f（x）的最小值．
（3）当f（x）在区间[-5，5]上为单调增函数时，则由-a≤-5，求得a的范围；当f（x）在区间[-5，5]上为单调减函数时，则由-a≥5，求得a的范围，再把这两个a的范围取并集，即得所求．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，∵x∈[-5，5]，
故当x=1时，f（x）取得最小值为1；当x=-5时，f（x）取得最大值为37．
（2）由于f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的图象的对称轴方程为x=-a，x∈[-5，5]，
∴当-5≤-a≤5时，f（x）的最小值为2-a²；当-a＜-5时，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，f（x）的最小值为f（-5）=27-10a；
当-a＞5时，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减，f（x）的最小值为f（5）=27+10a．
故有f（x）_min=

2-a2，-5≤a≤5 27+10a，a＜-5 27-10a，a＞5

．
（3）当f（x）在区间[-5，5]上为单调增函数时，则由-a≤-5，求得a≥5；
当f（x）在区间[-5，5]上为单调减函数时，则由-a≥5，求得a≤-5，
故要求的a的范围是{a|a≥5，或a≤-5}．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．