Question

已知二次函数f（x）=Ax²+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=-1对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*均在y=f（x）图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n的最小值；
（Ⅱ）数列{b_n}，bn=

1

Sn

，{b_n}的前n项和为 T_n，求证：

1

3

-

1

4n

＜T_n＜

3

4

-

1

n+3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,数列的求和

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax²+Bx的对称轴为x=-1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S_n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a_n=S_n-S_n-1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S_n的最小值；
（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，然后利用放缩法证得数列不等式．

解答： （Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，-

B

2A

=-1，
∴A=1，B=2，f（x）=x²+2x，
点(n，Sn)(n∈N*)均在y=f（x）图象上，
∴Sn=n2+2n  ①，
Sn-1=(n-1)2+2(n-1)（n≥2）②，
①-②得S_n-S_n-1=2n+1，即a_n=2n+1 （n≥2），
又a₁=S₁=3，
∴a_n=2n+1（n∈N^*）．
由Sn=n2+2n=（n+1）²-1，
该函数在[-1，+∞）上为增函数，
又n∈N^*，
∴当n=1时，（S_n）_min=3； 
（Ⅱ）证明：bn=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]，
=

1

2

[(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)]=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
即证

3

4

-

1

n+3

＞

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
也就是证

2

n+3

＜(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵

1

n+3

＜

1

n+1

，

1

n+3

＜

1

n+2

，
∴右边成立，
又T_n随n的增大而增大，Tn＞T1=

1

3

＞

1

3

-

1

4n

，左边成立．
∴原不等式成立．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．