Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），由此等式恒成立即可得出a的值；
（2）由于f（x）的定义域为R，令x₁＜x₂，再由定义法证明即可得出结论．

解答： 解：（1）由于f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1，f（x）=1-

2

2x+1

（2）由于f（x）的定义域为R，令x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于函数性质考查的经典题，应好好体会掌握．