题目内容
8．正四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为$\sqrt{6}$，则该四棱锥的外接球体积为（ ）| A． | $\frac{3π}{2}$ | B． | $\frac{4}{3}$π | C． | $\frac{9}{2}$π | D． | 9π |
分析 求出棱锥的高，设外接球半径为r，根据勾股定理列方程求出r，代入体积公式计算即可．
解答 
解：设正四棱锥的底面中心为O，则OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴正四棱锥的高PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=2，
设外接球的半径为r，则（2-r）2+2=r2，解得r=$\frac{3}{2}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π×（\frac{3}{2}）^{3}$=$\frac{9}{2}π$．
故选C．
点评 本题考查了棱锥与球的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．
练习册系列答案
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三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
17．
如图所示，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AE}$（x，y∈R），则x+y的取值范围是（ ）
如图所示，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AE}$（x，y∈R），则x+y的取值范围是（ ）| A． | $[1，4+2\sqrt{3}]$ | B． | $[4-2\sqrt{3}，4+2\sqrt{3}]$ | C． | $[1，2+\sqrt{3}]$ | D． | $[2-\sqrt{3}，2+\sqrt{3}]$ |