Question

5．如图ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B₁C₁的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC₁的中点为F．
（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；
（2）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；
（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S_△DEF，代入体积公式计算．

解答 解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），
所以$\overrightarrow{AD}=（2，2，4）\overrightarrow{，EF}=（-2，2，2）$．
设异面直线AD、EF所成角为α，则$cosα=\frac{{|\overrightarrow{AD}\overrightarrow{•EF}|}}{{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{EF}|}}$=$\frac{|-4+4+8|}{{\sqrt{4+4+16}•\sqrt{4+4+4}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
所以$α=arccos\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即异面直线AD、EF所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．
（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴$BC=4\sqrt{2}$，$AE=2\sqrt{2}$，DE=AA₁=4，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
由E为线段BC的中点，且AB=AC，
∴AE⊥BC，
又BB₁⊥面ABC，∴AE⊥BB₁，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴${V_{D-AEF}}={V_{A-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•AE=\frac{1}{3}•4\sqrt{2}•2\sqrt{2}=\frac{16}{3}$，
∴三棱锥D-AEF的体积为$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了异面直线所成的角，棱锥的体积计算，属于中档题．