Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：

x	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	-1	1	$\frac{1}{2}$	-1

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的周期，然后求出ω，利用函数经过（0，1），求解φ，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用两角和的正弦函数化简函数g（x）=f（x）+2sinx为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期$T=\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）=π$，
所以$ω=\frac{2π}{π}=2$．
又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以$φ=\frac{π}{2}$．
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{2}）=cos2x$．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=$-2{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{2}$．
由sinx∈[-1，1]，所以当$sinx=\frac{1}{2}$时，g（x）有最大值$\frac{3}{2}$；
当sinx=-1时，g（x）有最小值-3．…（13分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，函数的解析式的求法，考查计算能力．