Question

2．已知命题p：函数f（x）=x²+2ax+2a的值域为[0，+∞），
命题q：方程（ax-1）（ax+2）=0在[-1，1]上有解，
若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 当p为真时，函数f（x）=x²+2ax+2a=（x+a）²-a²+2a的值域为[0，+∞），可得-a²+2a=0，解得a．当q为真时，（i）当a=0时，不符合条件；（ii）当a≠0时，有x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{2}{a}$．由题意可得：$-1≤\frac{1}{a}≤1$或-1$≤-\frac{2}{a}$≤1．解得a范围，“p或q”假，即p假且q假，即可得出．

解答 解：当p为真时，函数f（x）=x²+2ax+2a=（x+a）²-a²+2a的值域为[0，+∞），
∴-a²+2a=0，解得a=0或a=2．
当q为真时，（i）当a=0时，不符合条件；（ii）当a≠0时，有x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{2}{a}$．
∴$-1≤\frac{1}{a}≤1$或-1$≤-\frac{2}{a}$≤1，
解得a≥1或a≤-1，a≥2或a≤-2，即a≥1或a≤-1．
“p或q”假，即p假且q假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜1}\\{a≠0，且a≠2}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜1且a≠0．
∴a的取值范围为{a|-1＜a＜1且a≠0}．

点评 本题考查了函数的性质、不等式与方程的解法、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．