Question

9．如图，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD=2，A是PB中点．E是BC中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB，连结PB．

（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）求AE与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥AD，PA⊥AB，得PA⊥面ABCD，PA⊥DE，由此能求出DE=$AE=\sqrt{2}$，从而AE⊥DE，由此能证明DE⊥面PAE．
（Ⅱ）由DE⊥面PAE，得面PAE⊥面PDE，过A做AF⊥PE，垂足为F，则AF⊥面PDE，∠PEA就是AE和面PDE所成的角，由此能求出AE与平面PDE所成角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）△PAD中，PA⊥AD，
又PA⊥AB，AD∩AB=A，所以PA⊥面ABCD．…（2分）
又DE?面ABCD，所以PA⊥DE．…（3分）
在直角△CDE中，$DE=\sqrt{C{E^2}+C{D^2}}=\sqrt{2}$，
同理$AE=\sqrt{2}$，
所以AD²=AE²+DE²=4，所以AE⊥DE．…（4分）
又PA∩AE=A，…（5分）
所以DE⊥面PAE．                      …（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥面PAE，而DE?面PDE，
所以面PAE⊥面PDE．…（7分）
在面PAE内，过A做AF⊥PE，垂足为F，
因为面PAE⊥面PDE，面PAE∩面PDE=PE，
所以AF⊥面PDE，…（9分）
EF就是AE在面PDE内的射影，
∠PEA就是AE和面PDE所成的角．…（10分）
在Rt△PAE中，$PA=1，\;AE=\sqrt{A{B^2}+B{E^2}}=\sqrt{2}$，
$PE=\sqrt{P{A^2}+A{E^2}}=\sqrt{3}$，
所以$sin∠PEA=\frac{PA}{PE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即AE与平面PDE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．