Question

9．设函数f（x）=ax+xe^b-x（其中a，b为常数），函数y=f（x）在点（2，2e+2）处的切线的斜率为e-1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的不等式组，解出即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性得到f′（x）＞0，f（x）递增．

解答 解：（1）f'（x）=a+e^b-x-xe^b-x，
f'（2）=a-e^b-2=e-1，①，
且f（2）=2a+2e^b-2=2e+2②，
由①②得a=e，b=2，
所以f（x）=ex+xe^2-x．
（2）f'（x）=e+e^2-x-xe^2-x，
令f''（x）=-e^2-x-e^2-x+xe^2-x=e^2-x（x-2）=0，解得：x=2，
x，f′′（x），f′（x）的变化如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f''（x）	-	0	+
f'（x）

∴f'（x）_最小值=e-1＞0，即f'（x）＞0恒成立，
所以f（x）的单调增区间为R．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．