Question

18．如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为A₁C₁与B₁D₁的交点，化简下列向量表达式：
（1）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$；
（2）$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$；
（3）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$；
（4）$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$．

Answer 1

分析 类比平面向量的线性运算法则，结合平行六面体的性质，对下列各式进行化简即可．

解答 解：如图所示，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{{AB}_{1}}$；
（2）$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{A}_{1}C}_{1}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}M}$；
（3）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{A}_{1}C}_{1}}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}M}$
=$\overrightarrow{AM}$；
（4）$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{{CC}_{1}}$+$\overrightarrow{{{C}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$
=$\overrightarrow{{AC}_{1}}$+$\overrightarrow{{{C}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$
=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．