Question

13．如图所示，在长方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点．
（1）化简：$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）设E是棱DD₁上的点，且$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，若$\overrightarrow{EO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，试求实数x，y，z的值．

Answer 1

分析 根据题意，利用空间向量的线性运算法则，对（1）式进行化简，对（2）式进行线性表示即可．

解答 解：在长方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点；
（1）$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\overrightarrow{AO}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$+$\overrightarrow{OA}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$；
（2）∵E是棱DD₁上的点，且$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DE}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{DD}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{EO}$=-$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$；
又$\overrightarrow{EO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．