Question

已知函数f（x）=alnx-x²+1．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，求实数a和b的值；
（2）求证；f（x）≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2；
（3）若a＜0，且对任意x₁、x₂∈（0，+∞），都|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义即可求实数a和b的值；
（2）根据充要条件的定义即可证明对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2；
（3）利用不等式恒成立结合导数的应用即可得到结论．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

-2x，（x＞0），f′（1）=a-2，
又f（1）=0，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（a-2）（x-1），即（a-2）x-y+2-a=0，
由已知得a-2=4，2-a=b，所以a=6，b=-4．…（2分）
（2）充分性
当a=2时，f（x）=2lnx-x²+1，f′（x）=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，（x＞0），
当0＜x＜1，时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
函数f（x）的最大值为f（1）=0；…（4分）
必要性
f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，而f（1）=0，
故0＜x＜1时，f（x）＞0，与f（x）≤0恒成立矛盾，所以a≤0不成立
当a＞0时，f′（x）=

2

x

(

a 2

+x)(

a 2

-x)，x＞0，
当0＜x＜

a 2

时，f′（x）＞0，当x＞

a 2

时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

a 2

）上是增函数，在（

a 2

，+∞）上是减函数，
函数的最大值为f（

a 2

）=

1

2

ln

a

2

-

a

2

+1；
因为f（1）=0，又当a≠2时，

a 2

≠1，f（

a 2

）＞f（1）=0与f（

a 2

）=0恒成立不符．
所以a=2．
综上，f（x）≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2，9分）
（3）当a＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数…（10分）
不妨设且0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），|x₁-x₂|=x₂-x₁，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，等价于f（x₁）-f（x₂）≥x₂-x₁，
即f（x₁）+x₁≥f（x₂）+x₂，
令g（x）=f（x）+x=alnx-x²+x+1，则g（x）在（0，+∞）上是减函数，…（12分）
∵g′（x）=

a

x

-2x+1=

-2x2+x+a

x

＜0，x＞0，
∴-2x²+x+a＜0在x＞0时恒成立，
即a＜2x²-x=2（x-

1

4

）²-

1

8

，
∵x＞0，∴2（x-

1

4

）²-

1

8

≥-

1

8

，
故a≤-

1

8

，
故a的取值范围是（-∞，-

1

8

]…（14分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，以及导数 的几何意义，综合性较强运算量较大．