Question

已知在△A BC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=2，sinC（

3

sinB+cosB）=sinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若cosA=

2 2

3

，求边b的长．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知可得

3

sinBsinC=sinBcosC，即tanC=

3

3

，从而可求C的值．
（Ⅱ）先求得sinA的值，由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，可求得sinB，根据正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，即可求得b的值．

解答： 解：（本小题满分15分）
（Ⅰ）由已知可得

3

sinCsinB+sinCcosB=sinBcosC+sinCcosB…2分
即有

3

sinBsinC=sinBcosC，即tanC=

3

3

…5分
所以C=

π

6

…7分
（Ⅱ）因为sinA=

1-cos2A

=

1

3

…9分
又因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，
所以sinB=

3 +2 2

6

…11分
根据正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，得b=

2 3 +4 2

3

…14分
所以边b的长为：

2 3 +4 2

3

…15分

点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题．