Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

的夹角

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

），其中ABC为△ABC的内角，且∠C-∠B=∠B-∠A．求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积运算、夹角公式即可得出；
（2）向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，可得

n

=（0，-1）．利用∠C-∠B=∠B-∠A，可得∠B=

π

3

．向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

）=（cosA，1+cosC），可得

n

+

p

=（cosA，cosC）．于是|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，利用C∈(0，

2π

3

)，可得cos(

2π

3

-2C)∈[-

1

2

，1]．即可得出．

解答： 解：（1）设

n

=（x，y），∵向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

的夹角

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
∴cos

3π

4

=

m • n

| m || n |

=

-1

2 | n |

，x+y=-1．
∴|

n

|=1=

x2+y2

，x+y=-1，
解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

．
∴

n

=（0，-1）或（-1，0）．
（2）∵向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，∴

n

=（0，-1）．
∵∠C-∠B=∠B-∠A，A+B+C=π，
∴∠B=

π

3

．
向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

）=（cosA，1+cosC），
∴

n

+

p

=（cosA，cosC）．
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，
∵C∈(0，

2π

3

)，∴(

2π

3

-2C)∈(-

2π

3

，

2π

3

)，
∴cos(

2π

3

-2C)∈[-

1

2

，1]．
∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

]．
∴|

n

+

p

|的取值范围是[

2

2

，

5

2

]．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、夹角公式、倍角公式、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．