题目内容

11．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC，点E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1BA；
（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1．

分析 （1）连接A1B，证明EF∥BA1，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面A1B1BA．
（2）证明AE⊥BC，BB1⊥AE，推出AE⊥平面BCB1，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AEA1⊥平面BCB1．

解答 证明：（1）如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC，A1C的中点，
所以EF∥BA1，…（4分）
又因为EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA．…（6分）
（2）因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE，
又BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCB1，…（10分）
又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．

练习册系列答案
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