Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为${s_n}={n^2}-7n$
（1）求数列{a_n}的通项公式，并判断{a_n}是不是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1时，a₁=S₁=-6，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-8，故通项公式a_n=2n-8，根据等差数列的定义即可判断该数列是等差数列，且公差d=2；
（2）由a_n=2n-8≥0，得n≥4，故数列{a_n}前三项为负项，从第四项起为非负项，对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得T_n．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=-6，
n≥2时，${S}_{n-1}=（n-1）^{2}-7（n-1）={n}^{2}-9n+8$，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-7n）-（n²-9n+8）=2n-8，
a₁=-6也符合上式
故a_n=2n-8，n∈N₊
∵n≥2时，a_n-a_n-1=（2n-8）-（2n-10）=2
∴{a_n}是等差数列，公差d=2．
（2）由a_n=2n-8≥0，得n≥4，故数列{a_n}前三项为负项，从第四项起为非负项．
n≤3时，T_n=-S_n=-n²+7n，
n≥4时，T_n=-（a₁+a₂+a₃）+（a₄+…+a_n）=-S₃+（S_n-S₃）=n²-7n+24
故${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+7n，n≤3}\\{{n}^{2}-7n+24，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了由数列前n项和求通项公式，等差数列的判定，以及等差数列前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．