Question

1．已知抛物线L的顶点在原点，对称轴为x轴，圆M：x²+y²-2x-4y=0的圆心M和A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点均在L上，若MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，则直线AB的斜率是（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 求出抛物线的方程，利用因为MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，所以k_MA=-k_MB，即可求出直线AB的斜率．

解答 解：依题意，可设抛物线的方程为y²=2px，则
因为圆点M（1，2）在抛物线上，所以2²=2p×1⇒p=2，故抛物线的方程是y²=4x；
又因为MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，所以k_MA=-k_MB，即$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}=-\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}-1}}$．
又因为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）均在抛物线上，所以${x_1}=\frac{y_1^2}{4}$，${x_2}=\frac{y_2^2}{4}$，
从而有$\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}=-\frac{{{y_2}-2}}{{\frac{y_2^2}{4}-1}}⇒\frac{4}{{{y_1}+2}}=-\frac{4}{{{y_2}+2}}⇒{y_1}+{y_2}=-4$，
直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=-1$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．