Question

1．在锐角△ABC中，边a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，A、B满足2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，解答下列问题：
（1）求角C的度数；
（2）求边c的长度；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合△ABC是锐角三角形，由特殊角的三角函数值即可得解．
（2）由题意可得a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，进而利用余弦定理可得c的值．
（3）利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由题意，得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因△ABC是锐角三角形，
故A+B=120°，C=60°；
（2）由a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，
解得：a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，故c=$\sqrt{6}$．
（3）故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理，韦达定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．