Question

16．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD于P，AP=3，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 设对角线AC、BD相交于O点，根据平行四边形的性质与向量加法法则，得到$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），从而可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$．再由$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，代入前面的式子即可得到$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：设对角线AC、BD相交于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），
因此，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$
=2$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$）=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$，
∵$\overrightarrow{|AP|}$=3，$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
由此可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+0=2×9=18．
故选：D

点评 本题在平行四边形中求向量的数量积，着重考查了平行四边形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．