Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$，则a₁a₂a₃…a₁₅=3；设b_n=（-1）ⁿa_n，数列{b_n}前n项的和为S_n，则S₂₀₁₆=-2100．

Answer 1

分析 利用递推式计算前5项即可发现{a_n}为周期为4的数列，同理{b_n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$，
∴a₂=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，a₃=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2．
∴a_4n+1=2，a_4n+2=-3，a_4n+3=-$\frac{1}{2}$，a_4n=$\frac{1}{3}$．
∴a_4n+1•a_4n+2•a_4n+3•a_4n=2×$（-3）×（-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}$=1．
∴a₁a₂a₃…a₁₅=a₁₃a₁₄a₁₅=a₁a₂a₃=2×（-3）×（-$\frac{1}{2}$）=3．
∵b_n=（-1）ⁿa_n，
∴b_4n+1=-2，b_4n+2=-3，b_4n+3=$\frac{1}{2}$，b_4n=$\frac{1}{3}$．
∴b_4n+1+b_4n+2+b_4n+3+b_4n=-2-3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=-$\frac{25}{6}$．
∴S₂₀₁₆=-$\frac{25}{6}$×$\frac{2016}{4}$=-2100．
故答案为：3，-2100．

点评 本题考查了数列的递推式，数列的周期性，属于中档题．