Question

8．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[0，π]的简图；
（2）求f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[-π，0]的单调增区间；
（3）函数g（x）=2cos2x的图象只经过怎样的平移变换就可得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R的图象？

Answer 1

分析 （1）利用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）的在一个周期[0，π]上的图象．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在x∈[-π，0]的单调增区间．
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）对于 函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R，由x∈[0，π]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，列表如下：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
f（x）	-$\sqrt{3}$	0	2	0	-2	-$\sqrt{3}$

作图：

（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
再结合x∈[-π，0]，可得求f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[-π，0]的单调增区间为$[{-π，-\frac{7π}{12}}]，[{-\frac{π}{12}，0}]$．
（3）把函数g（x）=2cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2sin2（x+$\frac{π}{4}$） 的图象向右平移$\frac{5π}{12}$个单位，
就可得到f（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$）的图象．

点评 本题主要考查利用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．