Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（2a+1）x+（4a-2）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≤

3

2

时，讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由f（x）在x=3处取得极值，得f'（3）=0可得a=2，再得函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数并分解因式，讨论当a=

3

2

时，当

1

2

＜a＜

3

2

时，当a≤

1

2

时函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=x-(2a+1)+

4a-2

x

=

x2-(2a+1)x+(4a-2)

x

，
∵f（x）在x=3处取得极值，∴f'（3）=0，∴a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-5x+6lnx，∴f′(x)=

x2-5x+6

x

，
∴f(1)=-

9

2

，f′(1)=2，
故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+

9

2

=2(x-1)，
即4x-2y-13=0．
（Ⅱ）f′(x)=x-(2a+1)+

4a-2

x

=

x2-(2a+1)x+(4a-2)

x

=

(x-2)[x-(2a-1)]

x

当a=

3

2

时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当

2a-1＞0 2a-1＜2

，即

1

2

＜a＜

3

2

时，f（x）在（0，2a-1）上是增函数，
在（2a-1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
当

2a-1≤0 2a-1＜2

，即a≤

1

2

时，f（x）在（0，2）上是减函数，
在（2，+∞）上是增函数．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值、单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查求导的运算和解不等式的运算能力，属于中档题．