Question

10．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列（n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，已知a₂+b₃=30，a₃+b₂=14．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=（a_n+1）•b_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，（n∈N^*），求证：T_n=$\frac{3}{2}$（a_nb_n+1）

Answer 1

分析 （1）由已知列式求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T_n，再求出$\frac{3}{2}$（a_nb_n+1），比较得答案．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}公差为d，等比数列{b_n}公比为q．
∵a₁=1，b₁=3，a₂+b₃=30，a₃+b₂=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d+3{q}^{2}=29}\\{2d+3q=13}\end{array}\right.$，化为2q²-q-15=0，
解得：q=3，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3ⁿ；
（2）证明：c_n=（a_n+1）•b_n=2n•3ⁿ，
∴T_n=2（3+2×3²+…+n•3ⁿ），
3T_n=2[3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=2（3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹）=2[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n×3ⁿ⁺¹]=（1-2n）×3ⁿ⁺¹-3，
∴T_n=（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．
而$\frac{3}{2}$（a_nb_n+1）=$\frac{3}{2}[（2n-1）{3}^{n}+1]=（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}+\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（a_nb_n+1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．