题目内容

18．已知二次函数f（x）=cx2-4x+a+1的值域是[1，+∞），则$\frac{1}{a}+\frac{9}{c}$的最小值是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 判断抛物线的开口方向，利用二次函数的最小值，推出a，c的关系式，然后利用基本不等式即可求解最值．

解答 解：∵二次函数f（x）=cx2-4x+a+1的值域是[1，+∞），开口向上，
∴c＞0且$\frac{4c（a+1）-16}{4c}$=1，即ac=4；
∴a＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{9}{c}}$=3，当且仅当$\frac{1}{a}$=$\frac{9}{c}$时取等号，
又ac=4，c=6，a=$\frac{2}{3}$；
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{c}$的最小值为3．
故选：C．

点评 本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．

练习册系列答案
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A．-2B．0C．1D．2
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A．-1B．-3C．2D．4
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A．0B．1C．2D．3
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