Question

如图，已知O（0，0），E（-

3

，0），F（

3

，0），圆F：（x-

3

）²+y²=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,圆与圆的位置关系及其判定,椭圆的定义

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ） 根据|PE|+|PF|=4＞|EF|，利用椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由题意知，圆P的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+y₀²，可得（x₀-

3

）x₁+y₀ y₁-1=0，同理（x₀-

3

）x₂+y₀ y₂-1=0，从而可得直线QT的方程，连接PF交QT于H，则PF⊥QT，求出|FH|，即可求点Q到直线PF的距离．

解答： （Ⅰ）解：∵|PE|+|PF|=4＞|EF|，
∴根据椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．
设P（x，y），则点P的轨迹方程为

x2

4

+y²=1．               …（6分）
（Ⅱ）证明：设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则由题意知，圆P的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+y₀²．
又Q为圆P与圆F的一个公共点，故

(x1- 3 )2+ y 2 1 =5，                  (x1-x0)2+(y1-y0)2= x 2 0 + y 2 0

所以（x₀-

3

）x₁+y₀ y₁-1=0．
同理（x₀-

3

）x₂+y₀ y₂-1=0．
因此直线QT的方程为（x₀-

3

）x+y₀y-1=0．
连接PF交QT于H，则PF⊥QT．
设|QH|=d （d＞0），则在直角△QHF中|FH|=

| 3 (x0- 3 )-1|

(x0- 3 )2+ y 2 0

．
又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，故|FH|=

| 3 (x0- 3 )-1|

(x0- 3 )2+1- x 2 0 4

=2×

| 3 (x0- 3 )-1|

[ 3 (x0- 3 )-1]2

=2．
在直角△QHF中d=

5-|FH|2

=1．
所以点Q到直线PF的距离为1．                                   …（15分）

点评：本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．