Question

在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足：a²+b²=c²，给出下列不等式：
①sinA+sinB＜2sin

A+B

2

；②cosB+cosC＜2cos

B+C

2

；③tanA+tanB＞2tan

A+B

2

．
其中一定成立的是 （　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：由于a²+b²=c²，可得C=

π

2

，A+B=

π

2

．
①利用互余角关系、正弦函数的单调性可得sinA+sinB=

2

sin(A+

π

4

)≤

2

=2sin

A+B

2

；
②由B＜C，可得cos

B-C

2

＜1，利用和差化积cosB+cosC＜2cos

B+C

2

；
③由于0＜A，B＜

π

2

，可得tanA＞0，tanB＞0，利用基本不等式tanA+tanB≥2.2tan

A+B

2

=2．即可判断出．

解答： 解：∵a²+b²=c²，∴C=

π

2

，A+B=

π

2

．
①sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)≤

2

=2sin

A+B

2

，因此不正确；
②∵B＜C，∴0＜C-B＜

π

2

，∴cos

B-C

2

＜1，
∴cosB+cosC=2cos

B+C

2

cos

B-C

2

＜2cos

B+C

2

；
③∵0＜A，B＜

π

2

，∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=2．
2tan

A+B

2

=2tan

π

4

=2．
∴tanA+tanB≥2tan

A+B

2

．
综上可得：只有②③正确．
故选：B．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理、互余角的关系、三角函数的单调性、基本不等式的性质、和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．