Question

3．已知f（x）=e^x-ax-1（e是自然对数的底数）．讨论y=f（x）的单调区间，若存在极值，求出极值．

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对a进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性和极值．

解答 解：由f（x）=e^x-ax-1，得f'（x）=e^x-a．
①当a≤0时，则f'（x）=e^x-a＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）在R上单调递增，递增区间为（-∞，+∞）．                            
②当a＞0时，
由f'（x）=e^x-a＞0，得到x＞lna，
由f'（x）=e^x-a＜0，得到x＜lna，
所以，a＞0时，f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；递减区间是（-∞，lna）． 
当x=lna时，有极小值，极小值为a-1-alna
综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无极值，
当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；递减区间是（-∞，lna），极小值a-1-alna．

点评 本题考查的知识点是，利用导数研究函数的单调性和极值，关键是分类讨论，属于中档题．