Question

18．利用函数的单调性证明不等式：e^x≥x+1．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=e^x-x-1，利用导数判断函数的单调性，求得f（x）的最小值即可证明e^x≥x+1

解答 证明：令f（x）=e^x-1-x，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
当x＞0时，函数f（x）单调递增，
当x＜0时，函数f（x）单调递减，
∴当x=0时，函数有最小值，最小值为f（0）=0，
∴f（x）≥0，
∴e^x≥1+x．

点评 本题主要考查利用导数证明不等式成立的知识，通过构造函数法把问题转化为求函数的最值问题解决，体会转化划归思想的运用，属中档题．